はじめに

受験Dr.の亀井章三です。いつも「開成・筑駒・灘中！すべて合格大作戦！」をお読みいただきありがとうございます。今回は、いつもの形式を離れた特別編！７月24日（日）に実施された「第25回算数オリンピックファイナル」の問題を１問ずつわかりやすく解説してまいります。
　本連載では、いつも応用問題を解くために必要な「解法ポイント」というものをご紹介しています。今回のファイナル問題を解いていくうえでも、もちろんこの「解法ポイント」を使っていくことで簡単に解いていくことができますので、たくさん「解法ポイント」をご紹介してまいります。

問題５はマス目に条件にしたがって記号を入れていく場合の数の問題です。ルール自体はシンプルなので、じっくりと樹形図で調べていくことで答えは求められそうですが、かなり手間と時間がかかります。そこで、どうやって効率良く調べていくかがこの問題のポイントとなります。

＜解説＞
一見大変そうなものでも、何かしらの方法があるものです。
それを見つけるために、次のポイントを使います。
【ポイント№32】「いくつかの例を並べて、規則を発見」
まずは２×３のマスで考えてみましょう。

ア＝○とすると、考えるのは（イ、エ）のマスになります。
この２つのマスの入れ方は（イ、エ）＝（○、●）（●、○）の
２通りになります。
次にオのマスを考えますが、オのマスと隣り合うイ、エ、カの中に既に○と●が１つずつ入ることが決まっていますので、ルールはクリアしています。
次にウのマスを考えます。イとカが○と●になるように入れれば良いので、（イ、カ）＝（○、●）（●、○）となります。
このことでわかるのは、イとエとカのマス目の入れ方はアとウとオのマス目のルールに関連する、ということです。つまり、
斜めに接するマスどうしの入れ方を考えていけばよく、全ての入れ方は、その入れ方を２回かけた値になります。
２×３のマスの場合、イ、エ、カの入れ方が２通りになりますので、アとウとオの入れ方も２通りとなり、全てのマスの入れ方は２×２＝４通りとなります。

それでは、２×７のマス目を考えていきます。
先ほどと同様に、マス目にア～セの文字をふります。

そして、○と●の入れ方を考えるのは、斜めで接しているア、ケ、ウ、サ、オ、ス、キの７つのマスになります。
ここからは表も使って調べていきます。

クのルールを満たすことを考えると、アとケは○と●が１つずつになります。そうすると、この入れ方はイのルールも満たすことになります。次にコのルールですが、それはケに何色を入れたかによって変わってきます。

次はエの条ルールですが、これはウとサに入れた色によって変わってきます。
ウとサが同じ色の場合、オには残りの色を入れることしかできません。ウとサが異なる色の場合、オには○も●も入れられます。

次はシのルールです。これはサとオに入れた色によって変わってきます。
サとオが同じ色の場合、スには残りの色を入れることしかできません。サとオが異なる色の場合、スには○も●も入れられます。

次はカではなく、セの条件を考えます。なぜなら、カもセもキとスのマスが隣り合っており、セのルールである「キとスのマスに○と●が入る」を満たせば、必ずカのルールも満たすことになるからです。 そうすると、キのマスにはスと逆の色を入れることになりますので、７マスの入れ方は表より16通りとなります。
これはイ、エ、カ、ク、コ、シ、セの７マスの入れ方も同じなので、マスの入れ方は全部で16×16＝256通りとなります。

答え 256通り

量が多くて大変な調べの問題も、少しの量であれば調べることはできます。その作業を通してヒントを見つけていく「観察眼」がとても大切です。
なお、この斜めに接するマス目への入れ方にはある決まりがあります。２×２だと２通り、２×３も２通り、２×４だと４通り、２×５だと６通り、２×６だと10通り、そして２×７だと16通り。わかりましたか？（正解は第６問の後ろにあります。）

問題６は、数を操作し、調べていくタイプの問題です。駒場東邦中、筑波大附属駒場中、灘中など、多くの難関校でも出題されるタイプの問題です。
攻略の鍵は、操作の条件を正確に把握することと、操作後の結果を調べていくことです。
この問題は次のポイントを使って考えていきましょう。
【ポイント№15】「まずは小さい数字の例を考える」

＜解説＞
いきなり9999まで調べるのは大変ですから、１～99で調べてみます。１～99の操作後の整数は、

となります。
ここに何個の整数があるのか、ですがポイントは重複している数です。上の一覧で赤字になっている数字が重複している整数です。共通点は何でしょう？
それは、
・１～99の範囲に入っている。
・全ての位が偶数（０、２、４、６、８）である。
・少なくとも１個以上、２か６が入っている。
ということです。
この結果を１～9999にもあてはめてみましょう。
9999個の整数のうち、
・１～9999の範囲に入っている。
・全ての位が偶数である。
・少なくとも１個以上、２か６が入っている
を満たす個数を考えます。
全ての位が偶数である数は、０、２、４、６、８の５つの数の組み合わせなので、５×５×５×５－１＝６２４個あります。

そして、少なくとも１個以上２か６が入っている数は数えにくいので、逆に「１つも２、６が入っていない偶数」を数え、先ほどの６２４個から引きます。
１つも２、６が入っていない偶数は、「０、４、８だけでできている偶数」です。それは、３×３×３×３－１＝80個あります。
したがって、624－80＝544個の整数が、操作後に重複して現れていることになります。
よって、9999－544＝9455個となります。

答え　9455個

４ケタ、５ケタとケタが大きい数を対象に調べていく問題では、ケタが小さいところまで調べることで、正解への手がかりを見つけることができます。時間がかかる作業ですがおぼえておくと良いでしょう。
次回は問題７と問題８を解説いたします。
＜第５問のおまけ＞
フィボナッチ数列（２つ前の数と１つ前の数の和になる）になっています。