はじめに

受験Dr.の亀井章三です。
いつも「開成・筑駒・灘中！すべて合格大作戦！」をお読みいただきありがとうございます。
今回は、いつもの形式を離れた特別編！６月12日（日）に実施された「第25回算数オリンピックトライアル」の問題を１問ずつわかりやすく解説してまいります。

本連載では、いつも応用問題を解くために必要な「解法ポイント」というものをご紹介しています。
今回のトライアル問題を解いていくうえでも、もちろんこの「解法ポイント」を使っていくことで簡単に解いていくことができますので、たくさん「解法ポイント」をご紹介してまいります。

問題７は立体に関する問題です。
リボンが巻き付く様子をどうやって捉えていくかがポイントとなっています。

＜解説＞
どの面にどのように巻き付いていくかを考えるため、頂点にＡ～Ｈの記号をつけ、さらに展開図で考えていきます。
まずは、Ａ～Ｈの記号を下の図のようにつけます。

そして、下の図のような展開図を用意します。

まず、辺ＡＢからリボンをかけていきます。

面ＤＣＧＨを辺ＧＨが重なるように回転させます。

辺ＧＨからさらにリボンを伸ばします。

面ＢＣＧＦを辺ＢＦが重なるように回転し、辺ＢＦからさらにリボンを伸ばします。

今１周目のリボンの端が辺ＤＨに来ました。
ここから２周目を巻いていきます。
辺ＤＨを持つ四角形ＣＤＨＧのところに、四角形ＡＤＨＥが辺ＤＨを重ねるように移します。

面ＡＢＣＤを辺ＢＣが重なるように回転し、辺ＢＣからさらにリボンを伸ばします。

面ＥＦＧＨを辺ＥＨが重なるように回転し、辺ＥＨからさらにリボンを伸ばします。

これで２周目が終わり、リボンの端は辺ＡＢに戻ってきました。
これで図を描くことができました。次は面積です。
正方形ＡＢＣＤだけ取り出して考えます。

図の三角形ＰＣＤは底辺と高さの比が１：３の直角三角形で、
その面積は１×３÷２＝1.5㎠です。


三角形ＰＱＣと三角形ＣＤＱは、ともに三角形ＰＣＤと相似の関係にあるので、
ＰＣ：ＣＤ＝ＰＱ：ＣＱ＝ＣＱ：ＤＱ＝１：３です。
よって、ＰＱ：ＱＤ＝１×１：３×３＝１：９になり、
三角形ＣＤＱ＝１．５÷（１＋９）×９＝1.35㎠です。

三角形ＤＲＳと三角形ＤＴＵと三角形ＤＣＱも相似の関係で、
ＤＲ：ＤＴ：ＤＣ＝１：２：３です。したがって、
三角形ＤＲＳと三角形ＤＴＵと三角形ＤＣＱの面積比は、
１：４：９となり、四角形ＲＳＵＴの面積は、

となります。

また、四角形ＡＳＵＶは平行四辺形で面積は３㎠です。
よって、四角形ＡＲＴＶの面積は、
３－0.45＝2.55㎠になります。

以上から、リボンが巻き付けられた部分の面積は （1.5＋2.55）×６＝24.3㎠となりますので、 求める面積は、３×３×６－24.3＝29.7㎠です。

答え　29.7㎠

問題８は数の性質・規則性に関する問題です。
ただし、この問題は「考えるより行動する」ほうが、もしかしたら早く正解にたどりつけるかもしれません。
問題文をよく読み、やりとりのルールを正確に守っていきましょう。

＜解説＞
１回ごとのおかしの個数を調べていきますので、次のポイントを使いましょう。
【ポイントNo.５】「計算する調べの作業は表で行う」

以上より、13回目に全員の差が１か０になります。

答え　１３回

問題９は図形を使った場合の数の問題です。
回転したり、うら返して同じになるものも別々に１通りとして数える、という条件が少しやっかいです。
どの四角形を基準にして場合分けをしていくかで解答時間に影響が出たものと思われます。

＜解説＞
どの形から調べても構いませんが、入れる場所が限られてくる５㎠から考えていきましょう。
【ポイントNo.６】「最小・最大から調べていく」

５㎠になる四角形は、１×５の長方形しかありません。
そこで、（ア）まん中の段に置く場合、と（イ）一番上の段に置く場合とに分けて考えます。
一番下の段に置く場合は（イ）の入れ方を180度回転させると一致しますので、後でまとめて計算して求めます。

（ア）５㎠をまん中の段に置く場合

次に大きな４㎠について考えます。
面積が４㎠になる四角形は、１×４の長方形と２×２の正方形の２種類あります。
しかし、このように５㎠を入れたときは１×４の長方形しか入れることができません。
また、４㎠をどの隅に置いても、１つの置き方に対して、左右に裏返すか180度回転させるかで、２×２＝４通りずつ考えられ、全ての置き方を調べたことになります。
そこで、４㎠を左上に置いた場合を考えます。

４㎠のとなりには必ず１㎠を置きます。
下の段には、左から３→２と置く置き方と、２→３と置く置き方の２通り考えられます。

したがって、（ア）は全部で２×４＝８通りになります。

（イ）５㎠を一番上の段に置く場合

ここで４㎠を考えると、１×４の長方形を入れる場合と２×２の正方形を入れる場合とに分けなくてはいけませんので、少し大変になります。
そこで、３㎠の置き方を先に考えます。
３㎠の四角形は１×３の長方形しかなく、また横向き（たて１×よこ３）にしか置けないので、場合分けの数が少なくてすみます。

５㎠を置いたのこり10マスの部分だけ取り出して考えます。
そこに３㎠を置く置き方は、
（イー１）左上に置く場合、と（イー２）中央に置く場合の２つに分けられます。
それ以外の場所は裏返したり回転させることで重複します。

（イー１）３㎠を左上に置く場合

ここで４㎠の置き方を考えますと、次の３通り考えられます。

それぞれの場合について、２㎠と１㎠の入れ方を考えますと、結局次の５通りになります。

したがって、（イー１）は全部で５×４＝20通りになります。

（イー２）３㎠を中央に置く場合

４㎠の置き方は２通り考えられますが、線対称になっているので、左側に寄せたときだけを考えればＯＫです。

これは次のように置く置き方しかありません。

したがって、（イー２）の置き方は全部で、
１×２（４㎠の左右対称）×２（３㎠の上下対称）＝４通りになります。

（イ）の場合の置き方は全部で20＋４＝24通りになります。
最初に書いたとおり、５㎠を一番下の段に置く置き方は、この（イ）の置き方を180度回転させたものになりますので、
結局置き方は全部で、８＋24×２＝56通りになります。

答え　５６通り

いよいよ最後の問題10です。
最後は数の性質を利用した調べ上げの問題です。
ある数字を操作により値を変え、どうなったかを問う問題、平成26年の灘中でも出題されている内容です。

＜解説＞
この問題のポイントは、太郎君が思っていた数字と実際の数字がどのように変わるのか？ということと、11で割った余りをどうやって考えていくか？ということの２点です。

まずは押した数字がどう変わるかを表にしましょう。

次に太郎君が入力しようと思っていた数を記号で表し、ＤＣＢＡとします。
【ポイントNo.１】「記号・文字を使って問題文を式に表す」
数字が変わることによって、11で割った余りがいくつ増えるのかを調べていきます。
例えば、Ａ（一の位）で「１」を押したつもりの場合は、
太郎　１（11で割ると１余る）⇒　本当　７（７余る）
となりますので、余りは６増えています。
これを他の数も調べますと、

同様に、Ｂ（十の位）、Ｃ（百の位）、Ｄ（千の位）の場合も考えます。
例えば、

全ての結果を表にまとめます。

これで準備は完了です。それではＤＣＢＡを求めていきます。
太郎くんが思っていた数字は11で割ると６余る数で、本当の数字は11で割ると８余る数です。
増えた余りの数は、 ８－６＝２、２＋11＝13、13＋11＝24、24＋11＝35…
が考えられます。
表より変化の値は、±０か＋５か＋６しかありません。
先ほどの２、13、24、35…のうち、０、５、６の組み合わせでできる数は６＋６＋６＋６＝24しかありません。
したがって、Ａ～Ｄは全て「余りが６増える数」ということがわかります。
よって、ＡとＣは１～３のどれか、ＢとＤは７～９のどれかになります。

このうち、ＤＣＢＡを11で割った余りが６になるものを探します。
そこで、Ａ～Ｄの数字と11で割った余りを表にします。

余りの合計が６、17、28、39…になる組合せを探します。
最大でも４＋３＋４＋３＝14なので、合計は６になります。
それは２＋１＋２＋１だけになります。
したがって、ＤＣＢＡ＝９１９１となります。

答え　９１９１

以上で2016年の算数オリンピックトライアルの全問解説が終了です。
いかがでしたか？
５問以上正解できた５年生以下の皆さまは、ぜひ来年の算数オリンピックに挑戦してみると良いでしょう。

また、決勝大会が行われましたら特別編にて解説を載せてまいります。