はじめに

受験Dr.の亀井章三です。いつも「開成・筑駒・灘中！すべて合格大作戦！」をお読みいただきありがとうございます。今回は、いつもの形式を離れた特別編！７月24日（日）に実施された「第25回算数オリンピックファイナル」の問題を１問ずつわかりやすく解説してまいります。
　本連載では、いつも応用問題を解くために必要な「解法ポイント」というものをご紹介しています。今回のファイナル問題を解いていくうえでも、もちろんこの「解法ポイント」を使っていくことで簡単に解いていくことができますので、たくさん「解法ポイント」をご紹介してまいります。

問題７は数の性質を利用した規則性に関する問題です。また、今年が西暦2016年であることから2016にちなんだ問題でもあります。いろいろな言葉が出てくるため、結局何について考えれば良いかが発想しにくい問題です。三角数をどう考えて表現していくかがポイントです。

＜解説＞
問題文のような正三角形ではなく、次の図のように「階段状の図形」で三角数を表現します。

今回の問題のポイントは、等差数列の和が「常に三角数になる」という点です。つまり、１番目の数と公差に何らかの決まりが存在しないと、常に三角数にはならないわけです。その決まりを見つけることが解答につながります。
たとえば、１番目の数を３（＝１＋２）とします。
２番目の数は１番目の数＋□（公差）ですから、次のように表すことができます。

これがくっついても階段状の図形になるので、

となります。そうすると、３番目がくっついても

となり、常に三角数になります。
では、このような形で2016になるような数列はいくつあるのでしょうか。それは１番目の図形の段数に注目すればわかります。
１番目が２段のとき、２番目までくっつけると４段、３番目までくっつけると６段、と１番目の段数の倍数になります。
2016は63段の階段になりますので、「１番目の段数の倍数」が63になるものが条件を満たす数列です。
63の約数は１、３、７、９、21、63の６通りありますが、
１番目の段数が１段というのは自然数の列のことなので、それ以外の５つになります。
6＋15＋24＋33＋……＋168＋177＋186＝2016
28＋77＋126＋175＋224＋273＋322＋371＋420＝2016
45＋126＋207＋288＋369＋450＋531＝2016
231＋672＋1113＝2016
2016は、その後5985、9954、13923……と続く数列の１番目です。

ではこれで全てでしょうか？
先ほどの例では、1番目の図形が２段でしたので、２段ずつ増える様子を考えました。これが３段ずつ増えるということはないか考えてみます。
図にしてみると

となります。
この場合３番目以降がくっついても常に階段状になります。

このことから、公差の部分が正方形にならないと条件を満たさないことがわかります。
では、このような形の数列を考えます。
１番目の図形の段数が□段のとき、（□＋１）段ずつ増えていきます。この合計が63になる□（整数）を求めます。
□＋（□＋１）×○　＝63
□＋１＋（□＋１）×○＝63＋１＝64
（□＋１）×（○＋１）＝64
より、□は64の約数から１ひいた数になります。
64の約数は１、２、４、８、16、32、64の７個
ここから１をひくと、０、１、３、７、15、31、63
□は１以上の整数より、□＝１、３、７、15、31、63となります。
□＝１のときは自然数の列になるのでは？と思うかもしれません。しかし、公差が違うので別の数列になります。
１＋５＋９＋13＋……＋113＋117＋121＋125＝2016
６＋22＋38＋54＋……＋198＋214＋230＋246＝2016
28＋92＋156＋220＋284＋348＋412＋476＝2016
120＋376＋632＋888＝2016
496＋1520＝2016　（このあと、2544、3568…と続きます。）
2016はこのあと、6112、10208、14303…と続きます。
１番目の段数より２段以上多く増える場合は、公差の部分が正方形になりませんので、常に三角数になることはありません。したがって、答えは５＋６＝11通りとなります。

答え 11通り

規則や仕組みがわかりにくい問題こそ、とにかくやってみる、調べてみることが大切です。そして、その中から自分なりの仮説を立てることが真実を見つける方法です。頑張ってください。

最後の問題８は、立体図形の切断に関する問題です。問題の設定自体はシンプルですが、27面で切るという数の多さから条件を考えていくのが難しい問題です。このような立体図形の問題を考えていくポイントをおぼえていきましょう。

＜解説＞
この問題のポイントは、1000個の立体に分けてから切断するのではなく、先に切断してから27個の面で分けていく、と順番を逆にして考える点
です。算数オリンピック2015トライアルの立体図形でも同じ方法が使える問題が出題されています。
どのように分けるかで、何個切断されるかを考えてみましょう。そこで、正三角形の部分だけ見えるように立体を描きます。

ここに平面を１つ交わらせると、

切り口（赤い面）は正三角形とＰＱで交わります。
立方体の面に平行に切ると、上の面、右の面、前の面の３面のうち必ず２面を切断するので、切り口は正三角形と必ず2点で交わり、交線を作ることになります。これは
【ポイント№24】「２つの交点、１つの交線」
のポイントを使っています。
その結果正三角形は２つの部分に分けられます。これは、赤い面で分けられた２つの直方体が、正三角形の切断面でどちらも切られていることと同じ意味です。
つまり、正三角形と平行面との交線により、正三角形がいくつの部分に分けられたかで、1000個のうち何個切断されるかがわかるわけです。
たとえば、

のようにすると、正三角形は３つに分けられ、

のようにすると、4つの部分にわけられます。
ということは、切断される長方形の個数が最少・最多になるのは、正三角形に辺と平行な直線を９×３＝27本引き、できるだけ他の直線と交わらなかったときが最少、できるだけ他の直線と交わるようになったときが最多となります。
最少の場合を考えます。できるだけ交わらないのは、次のように切り分けたときです。

このとき、正三角形は９×３＋１＝28個の部分に分かれます。
次に最も多くなる場合を考えます。ある辺に平行に９本の線を引くと必ず10個の部分に分かれます。

この９本の線全てに交わるように線を引くと

10個の部分が全て２つに分かれるので、全部で10×２＝20個
になります。よって、９本引くことで 10×（９＋１）＝100個の部分に分かれます。

最後に残りの９本を引きます。
まず、１本の直線を既にひいた18本の線全てと交わるように引きます。

すると、１＋８＋１＋８＋１＝19個の部分が２つに分けられ、全部で100＋19＝119個の部分になります。
つまり、18本全てと交わるように直線を引くと、18個の交点ができ、そのため19個の新たな部分ができるわけです。
したがって、全部で９本引くことで
100＋19×9＝271個の部分に分けられます。これが最多です。

答え　最少28個　最多271個

以上で特別篇「2016算数オリンピックファイナル解説」は終了です。この文章を読まれて算数オリンピックに興味をもたれた小学５年生以下の方は、ぜひ来年トライアルにチャレンジされてはいかがでしょうか。そして、小学６年生の方は数学オリンピックにつながる「ジュニア広中杯」が待っていますので、そちらにチャレンジしてみましょう。