入試頻出の数字のカードで整数を作る問題です。頻出度☆☆☆。
苦手な人、嫌いな人も、避けては通れません。どうせ避けられないなら、この機会にマスターしてしまいましょう。

前回紹介した問題とほぼ同じパターンです。

まず、やり方がすぐに決まるでしょうか。
・すぐ決まる人…よい学習ができていると言えます。
・すぐ決まらない人…テストのときに迷わなくていいように（＝楽ができるように）やり方を覚えていきましょう。

前回紹介したやり方は次の①②でした。

①樹形図をかく
作戦としてはだれもが思いつく方法で、必ず実行できるものです。
ただ、やれば必ず正解する、というわけではありません。
1のカードは3枚、他は２枚となっているので、「枚数制限」があります。これに注意して、慎重に書き進めましょう。

②分類して調べる
この問題では、数字によって枚数が異なります。
たとえば、使う数字の種類で分類（＝場合分け）すると、
１　aaa型
２　aab型
３　abc型
の3種類に分けることができます。

このほかに、数字の1を使う回数（0回、1回、2回、3回）で分類することも考えられます。

分類さえうまくできれば、比較的容易に答えを決めることができるでしょう。

「漏れなく、重複なく」分類することがポイントになります。
楽をしたい人、早くやりたい人、正確にやりたい人には、ぜひマスターしてほしいやり方です。

③余事象を考える
今回は前回の問題と異なり、数字の2と3がともに2枚あります。

樹形図を回避するもう一つの手段として、今回は③のやり方を説明します。

「余事象」とは、あることがらに対して、そうならない場合を指します。
ここでは考えられるすべての個数から、作ることができない数の個数を引き算して求めることを考えます。

1,2,3を何回でも使えるとしたときの数字の個数から、
実際には作ることのできない個数を引き算すればよいのです。

・重複順列

1,2,3が1枚ずつの場合はどうだったでしょうか。

最初が3種類、次が残った2種類、その次が残った1種類、
と並べることができるので、作ることができる数の個数は
３×２×１
で求めることができましたね。これを「順列」と言います。

それでは1,2,3を何回でも使えるときは、どう考えればよいでしょう。
すべてのカードが何回でも使えるとすると、

最初が3種類、次も3種類、そのまた次も3種類
使えるので、
３×3×3=27通り

となります。これを重複順列といいます。なじみの薄い言葉かもしれません。使っても使っても減らないイメージです。

この27個の数うち、実際には作れない数字は何でしょうか。

2と3枚は、3回使うことができませんね。
これにより222と333の2つの数字がNGパターンとなります。
以上より求める個数は

27－2＝25となります。

いかがでしたか。
重複順列は地味ですが、場合の数の問題の要所で活躍する考え方です。
意識的に活用して、解法の幅を広げましょう。

それではまた。