こんにちは。
受験Dr. の坂井です。
「V形 W形に並べてみよう」の第5弾です。
そのうち、W形についての並べ方について。今回も前回の続きのお話です。
１~７までの数をW形に並べたとき、並べ方が何通りあるかを考えていきます。
W形の並べ方は次に示すように（ア）～（オ）の5種類の並べ方があります。
並べ方のルールにつきましては、こちらよりご確認ください。
W形の並べ方（ア）～（オ）5種類のうち、これまで（ア）（イ）（ウ）について考えました。
今回は、（エ）の並べ方について考えていきましょう。
(エ)について
(エ)については、（ア）（イ）が左右対称の形であるのに対し、図1、図2のような2種類の形があることに注意しましょう。
ただし、左右反対の図1、図2の並べ方については同じ通り数ですので、図1についてのみ調べていきます。
並べ方について調べていくときのポイントは（ア）～（ウ）の並べ方について調べたときと同様に
数の位置が限定できるものについて、場合分けをするという点です。
1～7の中で7は最大の数だから、7の位置は
右の図のPまたはQとなります。
7がPの位置にあるとき
7がPの位置にあるとき、6の位置は次の2通りです。
（ⅰ）と（ⅱ）のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。
(ⅰ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞の2通りです。
＜X＞と＜Y＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。
＜X＞について
a＞b＞c＞d になるなるような並べ方は
（a,b,c,d）= （5,4,3,2）のみ よって 1通り になります。
＜Y＞について
aの位置には5しか並べることができません。
d=2のとき、（a,b,c）＝（5,4,3）
d=3のとき、（a,b,c）＝（5,4,2）
d=4のとき、（a,b,c）＝（5,3,2） よって 1×3＝3通り になります。
したがって、(ⅰ)の場合は、 1＋3＝4通り になります。
(ⅱ)の場合
(ⅰ)と同様に、１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。
＜X＞と＜Y＞と＜Z＞の場合について、dの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。
＜X＞について
dの位置には2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。
dの位置に並べた数以外の残りの数は、a＞b＞c＞となるように自動的に並び方が決まります。
d=2のとき、（a,b,c）＝（5,4,3）
d=3のとき、（a,b,c）＝（5,4,2）
d=4のとき、（a,b,c）＝（5,3,2）
d=5のとき、（a,b,c）＝（4,3,2） よって 1×4＝4通り になります。
＜Y＞について
aとdは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜dでもa＞dでもよい）
さらにaとd以外の残りの2つの数は、c＜bになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとdの並び方（a＜dでもa＞dでもよい）だけを考えればよいということになるのです。
aとdの並び方： 4×3=12 12通り
＜Z＞について
＜X＞と同様にdの位置には2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。
dの位置に並べた数以外の残りの数は、a＞b＞c＞となるように自動的に並び方が決まります。
d=2のとき、（a,b,c）＝（5,4,3）
d=3のとき、（a,b,c）＝（5,4,2）
d=4のとき、（a,b,c）＝（5,3,2）
d=5のとき、（a,b,c）＝（4,3,2） よって 1×4＝4通り になります。
したがって、(ⅱ)のときの場合は、4＋12＋4＝20通り になります。
7がPの位置にあるとき、（ⅰ）（ⅱ）より 4＋20＝24通り となります。
7がQの位置にあるとき
7がQの位置にあるとき、6の位置は次の3通りです。
（ⅰ）～（ⅲ）のそれぞれについて、場合分けをしながら並べ方が何通りあるかを考えていきましょう。
(ⅰ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けしてもよいのですが、
今回は、aとeに並べる数に着目して求めてみましょう。
aとeには1～5のどんな数でも並べることができます。
aとeが決まれば、それ以外の残りの3つの数がｂ＞ｃ＞ｄとなるように自動的に決まります。
したがって、（ⅰ）の場合は、aとeの並び方さえ決まればよいので
aとeの並び方： 5×4=20 20通り
(ⅱ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞＜Z＞の3通りです。
＜X＞と＜Y＞と＜Z＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。
＜X＞について
aの位置には2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。
aの位置に並べた数以外の残りの数の並べ方を、cが最小であることに注意して
考えてみると次のようになります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（4,3,5）（5,3,4）
a=3のとき、（b,c,d）＝（4,2,5）（5,2,4）
a=4のとき、（b,c,d）＝（3,2,5）（5,2,3）
a=5のとき、（b,c,d）＝（3,2,4）（4,2,3） よって 2×4＝8通り になります。
＜Y＞について
aとbは2、3、4，5のうち、どの数でも並べることができます。（a＜bでもa＞bでもよい）
さらにaとb以外の残りの2つの数は、c＞dになるように自動的に並び方が決まります。
すなわち、aとｂの並び方（a＜ｂでもa＞ｂでもよい）だけを考えればよいということになるのです。
aとｂの並び方： 4×3=12 12通り
＜Z＞について
aは2、3、4のうち、どの数でも並べることができます。（aに5を並べることはできません）
aの位置に並べた数以外の残りの数の並べ方を、cが最小であることに注意して
考えてみると次のようになります。
a=2のとき、（b,c,d）＝（5,3,4）（4,3,5）
a=3のとき、（b,c,d）＝（5,2,4）（4,2,5）
a=4のとき、（b,c,d）＝（5,2,3）のみ ⇒ bに置くことができるのは5のみだから
よって 5通り になります。
したがって、(ⅱ)の場合は、8＋12＋5＝25通り になります。
(ⅲ)の場合
１を並べることができる場所で場合分けして考えます。
１を並べることができる場所は次に示す＜X＞＜Y＞の2通りです。
＜X＞と＜Y＞の場合について、aの位置に並べる数によりそれぞれ何通りあるかを考えていきます。
＜X＞について
aの位置には2以外の数を並べることはできません。（aが3以上の場合、2をどこにも並べることができない）
a=2のとき、（b,c,d）＝（3,4,5）（4,3,5）（5,3,4） よって 3通り になります。
＜Y＞について
aとb（a＜b）の並べ方が決まれば、残りのcとd（c＜d）の並べ方は自動的に決まります。
aとｂの並び方： 4×3÷2＝6 6通り
したがって、(ⅲ)の場合は、3＋6＝9 9通り になります。
7がQの位置にあるとき、（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）より 20＋25＋9＝54通り となります。
以上より7がP、Qにあるときを合わせて、24＋54＝78通り
そして、図1、図2が左右逆になっていることを考えて、78×2＝156通り となります。
みなさん、お疲れ様でした。今回も大変な作業でしたが、もう慣れてきたでしょうか。
次回はついに最終回。（オ）を扱っていきますので、是非チャレンジしてみてください。
ポイントは、まず7の場所について場合分けをすることです。さらにそれにつながる6の場所が限定されるので6について場合分けをし、最後に最小の１について場合分けをして集計をしていくことです。一言で言えば、数の位置が限定できるものについて、場合分けをしていくということになります。
それではみなさん、
またお会いしましょう。
