第3章 約数の「偏差値20アップ・指導法」導入 | 2ページ目
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20アップ攻略法②⇒ 素数・互いに素・素因数分解の意味を覚えろ!
(1)素数… 約数が、1とその数自体の2つしかない数 (約数が2個)。
(例 2,3,5,7,11,13,17,19 … )
※ 1 は素数ではないので、 しっかり覚えること。
(2)互いに素… 2つ以上の整数 A と B (例えば7と13) に、 公約数が1の1つしかないとき、 この2つ の整数AとB(7と13)は、「互いに素」という(公約数が1の1個だけの2数以上)
(例 3と5、 5と7、 7と13、 などは、 どれも約数が1個だけだから 「互いに素」。)
(3)素因数分解… ある整数 (例えば12) を、素数の積の形に分解することを。
(例 2,3,5,7,11,13,17,19 … )
※ 1 は素数ではないので、 しっかり覚えること。
(2)互いに素… 2つ以上の整数 A と B (例えば7と13) に、 公約数が1の1つしかないとき、 この2つ の整数AとB(7と13)は、「互いに素」という(公約数が1の1個だけの2数以上)
(例 3と5、 5と7、 7と13、 などは、 どれも約数が1個だけだから 「互いに素」。)
(3)素因数分解… ある整数 (例えば12) を、素数の積の形に分解することを。
【例】
1〜20までの整数のうち、
① 約数が2個の数(素数)を求めなさい。
②約数が3個の数を求めなさい。
③約数が4個の数を求めなさい。
① 約数が2個の数(素数)を求めなさい。
②約数が3個の数を求めなさい。
③約数が4個の数を求めなさい。
それぞれの数を、 素因数分解すると、
1, 2, 3, 4=(2×2), 5, 6=(2×3), 7, 8=(2×2×2) 9=(3×3), 10=(2×5), 11, 12=(2×2×3), 13, 14=(2×7) 15=(3×5), 16=(2×2×2×2), 17, 18=(2×3×3), 19, 20=(2×2×5) したがって、
①約数が2個の数(素数) ⇒ 2,3,5,7,11,13,17,19
②約数が3個の数 ⇒ 4,9
③約数が4個の数 ⇒ 6,8,10,14,15
約数の個数(3,5を例とする）
①約数が2個 ⇔ 素数(3,5…)
②約数が3個 ⇔ 素数の平方数 (3×3,5×5…)
③約数が4個 ⇔ 素数の立法数 (3×3×3,…) 素数の積 (2×7,3×5,…)
①約数が2個 ⇔ 素数(3,5…)
②約数が3個 ⇔ 素数の平方数 (3×3,5×5…)
③約数が4個 ⇔ 素数の立法数 (3×3×3,…) 素数の積 (2×7,3×5,…)
【例】
６と12、18のうち、「互いに素」であるのはどちらですか。
6と12の公約数 … 1,2,3,6 8と15の公約数 … 1 ⇒ よって、公約数が1の1つしかない2数が「互いに素」だから、8と15が「互いに素」
6と12の公約数 … 1,2,3,6 8と15の公約数 … 1 ⇒ よって、公約数が1の1つしかない2数が「互いに素」だから、8と15が「互いに素」
20アップ攻略法③⇒ 約数の個数の求め方は、場合の数でイメージとして覚えろ!
（１）約数の個数の決め方…素因数分解して、 A×B×B×C×C×C=A1×B2×C3だとしたら、 約数の個数は、 (1+1)×(2+1)×(3+1)=2×3×4=24個 (通り) となります。
【例】
①１８の約数の個数を求めなさい。
②３６０の約数の個数を求めなさい。
②３６０の約数の個数を求めなさい。
①18を素因数分解すると、
18=2×3×3=21×32 となるから、 約数は、 (1+1)×(2+1)=6個となります。
ちなみに、18の約数を全てあげると、 {1,2,3,6,9,18} と6個あることが分かります。
2を0回か1回、3を0回か1回か2回掛け合せれば、全ての約数を表せるから、この組み合わせを求めればよい。図で表すと、上のマス目の数が約数の個数となる。
②360=2×2×2×3×3×5=23×32×51となるから、約数は(3+1)×(2+1)×(1+1)=24個となります。
2を0回か1回か2回か3回、3を0回か1 回か2回、5を0回か1回を、かけ合せれば、全ての約数を表せるから、図で表すと、上のマス目の数が約数の個数となる。
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